Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события




Скачать 184,62 Kb.
НазваниеЧто изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события
страница1/2
Дата публикации16.06.2013
Размер184,62 Kb.
ТипДокументы
www.pochit.ru > Математика > Документы
  1   2
§1. Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события.
Историческая справка :
Исторически теория вероятностей возникла как теория азартных игр (рулетка, игральные кости, карты и т.д.). в конце 17 века. Начало её развития связано с именами Паскаля, Бернулли, Муавра, Лапласа, а позднее (начало 19 века ) – Гаусса и Пуассона.

Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к середине 19 века и связаны с именами таких выдающихся математиков, как Н.И. Лобачевский, М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский (одним из первых издал учебник с приложениями в страховом деле и демографии).

Дальнейшее развитие теории вероятностей (конец 19 и двадцатые годы 20 века) в основном связано с именами русских учёных Чебышева, Ляпунова и Макарова. С 30-х годов 20 века этот раздел математики переживает период расцвета, находя приложения в различных областях науки и техники. В это время российские учёные Бернштейн, Хинчин и Колмогоров вносят существенный вклад в развитие теории вероятностей. Именно Колмогоров в возрасте 30 лет в 1933 году предложил аксиоматическое построение теории вероятностей, установив её связь с другими разделами математики (теорией множеств, теорией меры, функциональным анализом).

Теория вероятностей является разделом математики, в котором изучаются математические модели случайных экспериментов, т.е. экспериментов, исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведения опыта. При этом предполагается, что сам эксперимент может быть повторен (хотя бы в принципе) любое число раз при неизменном комплексе условий, а исходы эксперимента обладают статистической устойчивостью.

Понятие случайного эксперимента

Примеры случайных экспериментов:

1. Однократное подбрасывание монеты.

2.Однократное подбрасывание игральной кости.

3. Случайный выбор шара из урны.

4. Измерение времени безотказной работы электрической лампочки.

5. Измерение числа вызовов, поступающих на АТС за единицу времени.
!!! Эксперимент является случайным, если нельзя предсказать исход не только первого опыта, но и всех дальнейших. Например, проводится некоторая химическая реакция, исход которой неизвестен. Если её один раз провести и получить определённый результат, то при дальнейшем проведении опыта в одних и тех же условиях случайность исчезает.

Примеров такого рода можно привести сколь угодно много. В чём же состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результата каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике для них уже давно была замечена закономерность определённого вида, а именно: при проведении большого количества испытаний наблюдённые частоты появления каждого случайного события стабилизируются, т.е. всё меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события.

Наблюдённой частотой события А ()называется отношение числа появлений события А () к общему числу испытаний (N):



Например, при бросании правильной монеты дробь
при

( -количество орлов, ^ N –общее число бросаний)

Такое свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности предсказать исход отдельного опыта достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с рассматриваемым опытом. Поэтому методы теории вероятностей в современной жизни проникли во все сферы деятельности человека, причём не только в естественнонаучные, экономические, но и гуманитарные, такие, как история, лингвистика и т.д. На этом подходе основано статистическое определение вероятности.

при (наблюденная частота события стремится к его вероятности при росте количества опытов, то есть при n ).

Определение 1.1: Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов.

Пример построения пространства элементарных исходов:

Рассмотрим следующий случайный эксперимент: однократное подбрасывание игральной кости, наблюдаем число очков выпавших на верхней грани. Построим для него пространство элементарных исходов:

-содержит все варианты, появление каждого варианта исключает появление остальных, все варианты неделимы.

Пространство элементарных исходов (типы и примеры к каждому типу):

Рассмотрим следующую схему



^ Дискретные пространства – это пространства, в которых можно выделить отдельные исходы. В дискретных конечных можно точно указать их число.

Примеры дискретных пространств элементарных исходов

  1. ^ Эксперимент: однократное подбрасывание монеты

, где

Можно включить в пр-во э.и. вариант падения монеты на ребро, но мы его исключаем из модели как маловероятный (каждая модель – это некоторое приближение)

Если монета правильная, т.е. у неё везде одинаковая плотность и несмещённый центр тяжести, то исходы «герб» и «решка» имеют равные шансы на появление. Если у монеты смещён центр тяжести, то, соответственно, исходы имеют разные шансы на появление.

Замечание: если в задаче про монету ничего не говорится, то она предполагается правильной.

  1. ^ Эксперимент: однократное подбрасывание двух монет.

Замечание: Если монеты одинаковы, то исходы РГ и ГР визуально неразличимы. Можно пометить одну из монет краской и тогда они будут визуально различаться.

Модель можно строить по-разному :

либо мы различаем исходы РГ, ГР и тогда у нас получается 4 вар-та

, где



В этом случае, если обе монеты правильные, все варианты имеют равные шансы на появление.

либо мы не различаем варианты РГ и ГР и тогда у нас получается 3 вар-та.

, где



В этом случае, если обе монеты правильные, вариант РГ имеет больший шанс на появление, чем варианты ГГ и РР, т.к. он реализуется двумя способами: герб на первой монете и решка на второй и наоборот.

  1. ^ Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для поездки на конференцию. Результат эксперимента: конкретная пятёрка. При выборе нам важен только состав, т.е. не важно кого мы выбрали первого, а кого второго и т.д. При этом

(столько «пятёрок» различных по составу можно получить из 20 человек) (факториал)

Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.

(

Все 15504 варианта имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.

  1. ^ Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для премирования премиями различными по сумме. Результат эксперимента: конкретная упорядоченная пятёрка. При выборе нам важен не только состав, но и порядок выбора, т.к. от того каким человек выбран зависит размер премии.

1860480 (столько упорядоченных различных «пятёрок» можно получить из 20 человек).

Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.

(

Все 1860480 вариантов имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.

Понятно, что упорядоченных «пятёрок» будет больше, чем не упорядоченных, т.к. при одном и том же составе может быть несколько вариантов порядка: в данном случае в каждом составе из 5 человек возможно 120 различных вариантов порядка.

^ ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Обобщённое правило умножения:

Пусть нужно совершить m независимых действий причём первое действие можно совершить способами, второе - способами и т.д. …. m-ое действие способами. Тогда всю последовательность действий можно осуществить

способами

Перестановки.

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор из этих элементов.

-число перестановок из n элементов

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. последний элемент – одним способом, а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения

Размещения.

Размещением из n по m называется любой упорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов (m<=n).

- число размещений из n элементов по m (число вариантов такого упорядоченного выбора).

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. , а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения.

Сочетания.

Сочетанием из n по m называется любой неупорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов.

Сочетания и размещения связаны следующим образом:

(на каждый состав из m элементов мы имеем m! упорядоченных наборов). Таким образом,

число сочетаний из n элементов по m (число вариантов такого не упорядоченного выбора

Пример непрерывного пространства элементарных исходов

Эксперимент: двое человек назначают встречу в определённом месте межу 12 и 13 часами, и каждый из них может прийти в рамках этого времени в любой случайный момент. Отслеживаем моменты их прихода. Каждый вариант прихода 2 –ух человек – это точка из квадрата со стороной 60 (т.к. в часе 60 минут).

(первый может прийти в 12 часов x минут, второй в 12 часов y минут). Все точки из квадрата нельзя не пересчитать, не перенумеровать. В этом состоит его непрерывная структура и, следовательно, в данном эксперименте непрерывное пространство элементарных исходов.
^ События и операции над ними:
Определение 1.2

Любой набор элементарных исходов называют событием. События обозначаются большими латинскими буквами A,B,C или буквами с индексами A1,A2,A3 и т.д.
Часто используется следующая терминология: говорят, что произошло (или наступило) событие А, если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов .
^ Примеры событий

Вернёмся к эксперименту, состоящему в подбрасывании игральной кости. Рассмотрим следующие события:

A={выпадение чётного числа очков}

В={выпадение нечётного числа очков}

C={выпадение числа очков кратного 3}
Тогда, согласно введённым ранее обозначениям,


Определение 1.3

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным. Его обозначают также как и пространство элементарных исходов.
^ Пример достоверного события: при бросании игральной кости выпадает не больше 6 очков или при бросании игральной кости выпадёт хотя бы одно очко.
Определение 1.4

Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, т.е. событие, которое никогда не происходит в данном опыте, называют невозможным. Его обозначают символом .
Пример невозможного события: при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет равна 20.
Операции над событиями:


  1. Произведение (пересечение) событий (соответствует союзу «И»).




  1. Сумма (объединение) событий (соответствует союзу «ИЛИ» или

фразе произошло хотя бы одно из событий А или В).


  1. Разность событий (входят все э.и., которые входят в событие A, но при этом не входят в событие B).




  1. Дополнением события A называют событие происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие A.


Определение 1.5 События А и В называют несовместными, если их пересечением является невозможное событии, т.е. AB=.
Пример задачи на операции над событиями:
По мишени производят три выстрела. Рассмотрим события

{Попадание при i-ом выстреле}, i=1..3

Выразить с помощью теоретико-множественных операций через события Ai следующие события:

А={три попадания}=

B={три промаха}=

C={хотя бы одно попадание}=

D={хотя бы один промах}=

E={не менее двух попаданий}=+++

F={не больше одного попадания}=+++

G={попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле}=
Идея: дальше будут задачи такого типа: вероятности событий даны и требуется, зная эти вероятности, найти вероятности событий A, B, C, D, E, F, G
§2. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Для количественного сравнения шансов наступления событий вводится понятие вероятности.
Определение 2.1 Пусть каждому событию A поставлено в соответствие число P(A). Числовую функцию P называют вероятностью или вероятностной мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома неотрицательности

Аксиома нормированности

Аксиома сложения (расширенная) Для любых попарно несовместных событий



Вероятность удовлетворяет следующим свойствам:

1. -вероятность противоположного события

2. P{}=0 –вероятность невозможного события

3.

Аксиоматическое определение вероятности ввёл российский учёный Колмогоров.

Для дискретных конечных пространств элементарных исходов в случае, когда исходы равновозможны, расчёт вероятностей событий производится по формуле:

(2.1) формула классической вероятности ( -число элементарных исходов, входящих в , -число элементарных исходов, входящих в событие A)
Примеры:

Пример 1. Пусть подбрасывается игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет чётное число очков.

Пространство элементарных исходов конечно и все элементарные исходы равновозможны, т.к. кость предполагается правильной. Следовательно, по формуле классической вероятности имеем



Пример 2. Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для поездки на конференцию. Результат эксперимента: конкретная пятёрка. При выборе нам важен только состав, т.е. не важно кого мы выбрали первого, а кого второго и т.д. При этом

(столько «пятёрок» различных по составу можно получить из 20 человек) (факториал)

Найти вероятность того, что поедет конкретный человек, конкретная пара и конкретная пятёрка.

Расчёт производится по формуле классической вероятности, т.к. все пятёрки при случайном выборе имеют равные шансы на появление


= 0,25 вероятность того, что поедет конкретный человек
= 0,05 вероятность того, что поедет конкретная пара
= 0,0000645 вероятность того, что поедет конкретная пятёрка

Допустим, что из 20 человек 15 девушек и 5 юношей и требуется найти вероятность того, что поедут 3 девушки и 2 юноши.
0,29 вероятность того, что поедут 3 девушки и 2 юноши

^ Пример 3. (анекдот про женскую логику - ошибочное использование формулы классической вероятности !!!).

Задают вопрос мужчине: какова вероятность того, что вы выйдите на улицу и встретите динозавра. Ответ : 0,000000000001

Тот же вопрос задают женщине. Ответ: 0.5

Почему? Ответ: либо встречу, либо нет.

,

. Формула классической вероятности применена неверно, действительно может произойти один вариант из двух, но они неравновозможны.

Основная трудность при расчете по формуле классической вероятности заключается в подсчёте общего числа элементарных исходов и числа исходов, входящих в событие A. Основную помощь в этом подсчёте могут оказать формулы комбинаторики, т.к. вручную варианты считать очень сложно.

^ Решение задач на формулу классической вероятности с использованием элементов комбинаторики:
Задача 1. (на размещения) Из 6 карточек, образующих слово мастер наудачу выбирают 4 и выкладывают слева направо.

1.Найти вероятность того, что в результате выкладывания получится слово «тема».

2. Найти вероятность того, что получится «слово» оканчивающееся на букву «а».

3. Найти вероятность того, что получится «слово» начинающееся на «м» и оканчивающееся на «а».

Под «словом» понимается любой упорядоченный набор букв.



Задача 2. (на сочетания)

Задача 7. (на сочетания)

Некто купил карточку лотереи «6 из 49» и отметил в ней 6 из имеющихся 49 номеров. В тираже разыгрывается 6 выигрышных номеров. Найти вероятность того, что будет угадано i номеров?

i =3..6.

Решение:

(i=3 – 0.018, i=4 – 0.00097, i=5 - , i=6 - )
Для непрерывных пространств элементарных исходов в случае, когда

1. Топологическая мера пространства конечна ().

2. Вероятность попадания в подобласть A зависит только от её топологической меры и не зависит от расположения и формы, расчёт вероятностей событий производится по формуле:

(формула геометрической вероятности) (2.4)
Под топологической мерой пространства понимается длина, площадь или объём.

Формула геометрической вероятности – аналог формулы классической вероятности в непрерывном случае.

^ ПРИМЕР (задача о встрече)

Двое договариваются о встрече между 12 и 13 часами в определённом месте. Каждый может прийти в любой случайный момент в течение этого интервала времени. Первый ждёт второго после своего прихода 15 минут и второй первого также 15 минут. Найти вероятность их встречи.

(первый может прийти в 12 часов x минут, второй в 12 часов y минут).

-если точка, соответствующая моментам прихода обоих попадёт в полосу, то они встретятся.



Событию A соответствует область между двумя прямыми (уравнения прямых получаются после раскрытия модуля, геометрически область соответствует решениям неравенства ).

Т.к. - двумерно, то в качестве будет выступать площадь. Т.к. -квадрат, то область ограничена и, следовательно, её площадь конечна. Т.к. оба встречающихся приходят наудачу в течении данного часа, то никакие точки квадрата не имеют преимущества перед другими.





Следовательно, по формуле геометрической вероятности имеем:

(или 44 %)

§ 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность и независимость событий.

Теория:

Определение условной вероятности события А при условии, что событие произошло:



^ События А и В наз. независимыми, если

Определение независимости событий в совокупности

События называются независимыми в совокупности, если для любых k из них выполняется



Если это свойство выполняется только для k=2, то события называются попарно независимыми. Из попарной независимости не следует независимость в совокупности.

Независимость событий заключается в том, что между событиями нет причинно-следст­венной связи.

Пример на расчёт условных вероятностей:
В ящике имеется 10 белых шаров с номерами от 1 до 10 и 10 красных шаров с аналогичными номерами. Из ящика случайным образом выбирается один шар. Рассматриваются следующие события:

{извлечённый шар будет белым}

B={извлечённый шар будет иметь номер 1}

Найти : и . Проверить события A и B на совместность и независимость.
Решение:




Замечание:

P(A/B) можно считать не по определению, а посредством следующих рассуждений:

При условии В означает, что событие B произошло, т.е. выбранный шар имеет номер 1. Таких шаров 2. Нам требуется найти вероятность того, что этот шар белый. Среди шаров с номером 1 белый шар – один. Следовательно, по формуле классической вероятности имеем:



==> события A и B независимые.

AB={извлечённый шар будет белым с номером 1} - события A и В совместны.
Теорема сложения вероятностей для попарно несовместных событий.

Пусть события попарно несовместны (т.е. , ). Тогда

Теорема сложения вероятностей для произвольных событий.

Пусть -произвольные события . Тогда

-для двух произвольных событий

Теорема сложения вероятностей для совместных, но независмых в совокупности событий.

Пусть - независимые в совокупности события. Тогда



Теорема умножения вероятностей для произвольных событий


Теорема умножения вероятностей для независимых событий



Задача 1.

Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого 0.8, для второго - 0.7, для третьего - 0.6. Найти вероятности следующих событий:

A={попадёт хотя бы один стрелок}

B={попадут все три стрелка}

C={будет не менее двух попаданий}
Решение:

Введём следующие вспомогательные события:

={попадёт первый стрелок}

={ попадёт второй стрелок}

={попадёт третий стрелок}

. События - совместные события (попадание одного не исключает попадания остальных). Поэтому вероятность суммы надо считать по теореме сложения для произвольных событий


События , , - независимые события. Следовательно,





Можно было подсчитать проще по теореме сложения для совместных, но независимых событий:


(все события входящие в произведение независимы). По теореме умножения для независимых событий.





Все суммируемые события несовместны => по теореме сложения для несовместных событий и по теореме умножения для независимых событий имеем:



Задача 2.

Из букв, образующих слово «соловей», выбирают последовательно 3 и выкладывают в порядке изъятия. Найти вероятность того, что в результате выкладывания получится слово «вол».

Решение:

Рассмотрим следующие события:

A1= {первая изъятая буква - в}

A2={вторая изъятая буква - о}

A3={третья изъятая буква -л}

А={в результате выкладывания получится слово «вол»}
(события A1, A2,A3 – зависимы => расчёт вероятности события A будет осуществляться с помощью теоремы умножения вероятностей для зависимых событий).


§ 4. Схема Бернулли (или биномиальная схема)

Испытания Бернулли – это независимые испытания, в каждом из которых мы различаем 2 исхода, которые условно называем успех и неудача.

p-вероятность успеха

q –вероятность неудачи



Вероятность успеха не меняется от опыта к опыту
  1   2

Похожие:

Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconЛ. Н. Фадеева Содержание курса
Случайные события и правила действия с ними. Определение вероятности события в случае дискретного пространства элементарных исходов....
Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconЗадачник-минимум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»...
Операции со случайными событиями. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Элементы комбинаторики:...
Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconЗакон распределения дискретной случайной величины
...
Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconТема Вероятностное пространство
Случайные события, пространство элементарных событий, алгебра событий. Вероятность и ее свойства, способы задания вероятностей. Вероятностные...
Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconИнститут цивилизации вопросы по дисциплине «Теория систем и системный анализ»
Понятие измерительной шкалы. Основные типы измерительных шкал и их особенности. Качественные и количественные измерительные шкалы....
Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconИнститут цивилизации вопросы по дисциплине «Теория систем и системный анализ»
Понятие измерительной шкалы. Основные типы измерительных шкал и их особенности. Качественные и количественные измерительные шкалы....
Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconУрок №1 тема: история развития теории вероятностей. Предмет теории вероятностей
Цель: повторить основные элементы комбинаторики; рассмотреть этапы развития теории вероятностей как науки
Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconТо есть, Исходы, которые входят в событие называются исходами благоприятными
Теория вероятностей развивается для того, чтобы наиболее точно оценивать возможность наступления некоторого события. Поэтому там,...
Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconТема: Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события iconМетодика изучения темы: «Элементы статистики, комбинаторики и теории...
Методика изучения темы: «Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в школьном курсе математики 7- 9 классов»
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2019
контакты
www.pochit.ru
Главная страница